Хомячок писает в своём домике, там где и спит. Ему 2 месяца, купила его всего неделю назад, я заметила что он стал кашлять, я думаю что это от того что у него всегда мокро в домике. Как его приучить ,чтобы он ходил в туалет в другом месте?

Относительно проблемы писания в домике, думаю, Вам поможет вот эта тема на Форуме.
Что касается кашля. Хомячки - разговорчивые зверушки, их звуки часто напоминают сопение, похрюкивание, журчание, посвистывания, так что Вы вполне могли принять разговорчивость за кашель. Но и кашель мог иметь место, если клетка стоит на пути возможных сквозняков, где хома и мог простудиться. В таком случае, его стоит срочно показать ветеринару, т.к. все болезни у хомячков развиваются крайне быстро.
В случае, если сквозняки исключены, можете дать хомячку для профилактики кусочек батона в теплом ромашковом отваре или обезжиренном молоке.

Этот ВиО был найден в HAMSTER.RU - сайт о хомяках : https://hamster.ru/modules/smartfaq/faq.php?faqid=401